☛ Écart entre probabilité et fréquence observée

Énoncé

Une société de téléphonie mobile interroge au hasard ses clients pour mesurer leur degré de satisfaction. Pour cela, 10 démarcheurs téléphoniques sont missionnés pour interroger chacun 100 clients, de manière indépendante, et leur demander s'ils sont satisfaits ou non des services proposés par la société. On note les résultats des démarcheurs téléphoniques dans le tableau suivant.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Démarcheur n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline \textbf{Nombre de clients satisfaits} & 71 & 66 & 76 & 67 & 65 & 68 & 70 & 62 & 68 & 77 \\\hline\end{array}\)

1. Calculer la fréquence observée de clients satisfaits sur ces 10 échantillons de taille 100.

2. On suppose que la probabilité pour qu'un client de cette société soit satisfait est de 0,7.
    a. Pour chacun des 10 échantillons, calculer l'écart entre cette probabilité et la fréquence observée.
    b. Calculer la proportion des cas où l'écart entre cette probabilité et la fréquence observée est inférieure ou égale à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).

Solution

1. On a le tableau de fréquences suivant.
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Démarcheur n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline\textbf{Fréquence de clients satisfaits} & \dfrac{71}{100} & \dfrac{66}{100} & \dfrac{76}{100} & \dfrac{67}{100} & \dfrac{65}{100} & \dfrac{68}{100} & \dfrac{70}{100} & \dfrac{62}{100} & \dfrac{68}{100} & \dfrac{77}{100} \\\hline\end{array}\)2. a. L'écart entre la probabilité \(p\) est la fréquence de clients satisfaits \(f\) est le résultat du calcul \(\lvert f - p\rvert\) .

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Démarcheur n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline\textbf{Résultat du calcul } \lvert f - p\rvert& 0,01 & 0,04 & 0,06 & 0,03 & 0,05 & 0,02 & 0 & 0,08 & 0,02 & 0,07 \\\hline\end{array}\)    b. On a \(n = 100\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0,1\).

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Démarcheur n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline\lvert f - p \rvert \leq 0,1 & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} & \text{Oui} \\\hline\end{array}\)

On peut donc conclure que l'écart entre la probabilité \(p = 0,7\) et la fréquence observée est inférieure ou égale à \(0,1\) dans 100 % des échantillons.